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Symmetriegruppen von Kristallen, Kristallstrukturen und anderen Gegenständen, die mit Gruppen von Permutationen physikalischer oder sonstiger Eigenschaften dieser Objekte gekoppelt sind. Man findet in der Literatur auch weniger restriktive Definitionen für mehrfache Symmetriegruppen. Sind n Gruppen miteinander verknüpft, dann spricht man von einer n-fachen Symmetriegruppe. Die verschiedenen Gruppen (die allesamt Symmetriegruppen sind - die gewählte Nomenklatur dient lediglich der besseren Unterscheidung) müssen zueinander kompatibel sein. Kompatibilität wird erreicht, wenn dem Produkt zweier Symmetrieoperationen stets auch das Produkt der diesen Operationen zugeordneten Permutationen entspricht. Diese Forderung bedingt, dass die Permutationsgruppe ein homomorphes Bild der Symmetriegruppe sein muss. Damit ist die Permutationsgruppe isomorph zu einer Faktorgruppe der Symmetriegruppe. Der Normalteiler enthält jeweils die eigenschaftserhaltenden Permutationen, und sein Index in der Symmetriegruppe ist gleich der Anzahl der Realisationen der betreffenden Eigenschaft.
In der Abb. wird als Beispiel eine dreifache Symmetriegruppe eines Hexakisoktaeders betrachtet, das sowohl mit Graustufen als auch mit Streifung als zwei zusätzlichen Eigenschaften versehen ist. In der Punktgruppe m 
m (Oh) bilden diejenigen Permutationen, welche gestreifte Flächen wieder in gestreifte Flächen überführen, die Untergruppe (Normalteiler) 432 (O) vom Index zwei, während die graustufenerhaltenden Operationen die Untergruppe (Normalteiler) 23 (T) vom Index vier bilden. Die zweifachen Symmetriegruppen sind die Farbgruppen, unter denen die Schwarz-Weiss-Gruppen eine wichtige Rolle spielen.
 mehrfache Symmetriegruppen: die dreifache Symmetriegruppe eines Hexakisoktaeders. |
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