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Differentialgeometrie gekrümmter Flächen, ein von C.F. Gauss geschaffener Formalismus zur Beschreibung der inneren und äusseren Geometrie von Flächen im 
3 sowie der Eigenschaften von Flächenkurven (Kurventheorie). Fundamentale Grundlage der Flächentheorie sind die Ableitungsgleichungen, die das Änderungsverhalten des Ortsvektors einer Flächenkurve sowie eines mit dieser verbundenen begleitenden Dreibeins beschreiben. Massgeblich für die Flächengeometrie ist das Gausssche Dreibein mit den Basisvektoren:
 1 = ∂ /∂u, 2 = ∂ /∂v,
3 = =( 1× 2)/| 1× 2| mit (u,v)=Flächenkoordinaten, =Ortsvektor der Fläche, 3 = = Flächennormalenvektor. Die Differentiale der Basisvektoren können in der Basis ( 1, 2, 3) dargestellt werden; man nennt diese Darstellung für 1, 2 die Ableitungsgleichungen von Gauss, für 3 die Ableitungsgleichungen von Weingarten. Aus den Ableitungsgleichungen folgen die Fundamentalformen der Flächentheorie, die erste Fundamentalform:
I= ds2 = E·du2+2F·dudv+G·dv2 ,
die mit dem Quadrat des Bogenelements identisch ist, und die zweite Fundamentalform: II= L·du2+2M·dudv+N·dv2 ,
welche sich aus dem Skalarprodukt von d
(Differential des Ortsvektors) und -d
3 (Differential des
Flächennormalenvektors) ergibt. Während die Gaussschen Fundamentalgrössen erster Art E,F,G die
innere Flächengeometrie oder Metrik einer Fläche festlegen, sind die Gaussschen
Fundamentalgrössen zweiter Art L,M,N für die Krümmungsverhältnisse auf einer Fläche bezüglich des
einbettenden Raumes (äussere Flächengeometrie) massgeblich. Die Gausssche Flächentheorie wird in
der Mathematischen Geodäsie (Theorie der Landesvermessung) bei der Beschreibung der
Flächenkoordinaten und Flächenkurven (Kurventheorie) auf einer Kugel oder einem
Rotationsellipsoid verwendet.
BH |
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